Équations différentielles stochastiques rétrogrades dirigées par un mouvement brownien fractionnaire.

Abstract

Ce mémoire est consacré à l’étude théorique des Équations Différentielles Stochastiques Rétrogrades (EDSR) dirigées par un Mouvement Brownien Fractionnaire (mBf) d’indice de Hurst H ∈ (0, 1). Le cadre classique des systèmes stochastiques dirigés par le mouvement brownien standard est insuffisant pour modéliser des phénomènes réels présentant une dépendance temporelle persistante ou une mémoire à long terme (cas H > 1/2). L’introduction du mBf permet de surmonter cette limitation. Cependant, l’étude des EDSR dans ce contexte non-markovien est rendue complexe par la non-martingalité du mBf et l’absence d’une variation quadratique classique, nécessitant le développement d’outils analytiques spécifiques. L’objectif principal de ce mémoire est de présenter les résultats d’existence et d’unicité de la solution des EDSR dirigées par un mBf dans les cas linéaire et non linéaire. La méthodologie adoptée par [6] repose sur l’extension de la théorie classique des EDSR et l’utilisation : 1. du Calcul de Malliavin pour définir l’intégrale stochastique par rapport au mBf (intégrale de Skorokhod) ; 2. d’espaces de Banach pondérés appropriés ; 3. de l’application du Théorème du point fixe de Picard sur la forme intégrale de l’EDSR ; Le mémoire donne les conditions suffisantes pour l’existence et l’unicité d’une solution pour les EDSR dirigées par un mBf, dans le cas linéaire et dans le cas non linéaire basées sur une régularité appropriée sur le générateur et la condition terminale. Ce travail contribue ainsi à la formalisation mathématique d’un cadre d’analyse stochastique avancé.